Monty Hall problem概率小游戏的直观雏形

Monty Hall problem的概率小游戏的直观雏形

美国的电视节目里曾有个玩概率游戏的“Monty Hall problem”猜谜节目、这个人猜谜节目的奥秘其实是很容易被弄明白的，但不知道是不是真的连许多概率学工作者因为太过单方面偏重于理性的继时性推理那种不直观的抽象解说，所以我看到的很多教科书式的解说、虽然完整地阐述了数学过程，但仍然没有把很容易让人弄明白的那个关键作用机制的过程的雏形给直观描画出来、以至于上搜索引擎一搜、自动提示的关键词很多是对这个游戏的概率结论不能理解的。

Monty Hall problem这个游戏、其实就是有3扇门、只有一扇门是藏有大奖品的，但是要选择两次、每次选择1扇门，在第二次选择的时候选中有奖品的那扇门才可以得奖，而嘉宾在第一次选择其中1扇门之后，会被暗中知道究竟哪扇门有奖品的主持人从【被嘉宾选择了的那扇门以外】以外的其余2扇门里、挑选出没有奖品的那1扇门、把那1扇门是没奖品的的结果剧透出去，然后让嘉宾再继续选择，那么、嘉宾从剩下的2扇门里挑选、要选择和第一次不同的那扇门呢还是要挑选第一次时的那扇门呢，怎么选择中奖概率会更大，这样一个问题。

很多所谓的“直觉觉得第二次选择选择剩下两扇门的概率都一样、都是1/2”，其实这个”直觉”不仅是直觉、也是抛硬币那样的每次抛硬币正反概率都是1/2那样的理性概率思维不经意的错误引用，如果换个猴子或更没数学思维的动物来选，是否还会觉得第二次选择时换不换选择对象、中奖找到食物的概率都一样，还真不好说。

以上都是对游戏的介绍，接下来这段话才是对这个游戏的诀窍的关键揭示：

Monty Hall problem这个游戏的问题的关键点，在于第一次选择哪1扇门、随机选择的结果，并不是对错各1/2那样正反抵消地对第二次选择的选择范围没有影响，游戏主持人从第一次没被选择的剩下2扇门里剔除掉1扇不中奖的门，这个才是引起观众以为被主持人剧透后、3扇门里剩下的2扇门1/2概率地藏有奖品主持人剔除剩下的2扇门中的1扇那样的效果的迷惑性景象，如果总数不是3扇、而是30扇门，那就很容易看明白，第一次选择后主持人剧透2、3门门没有奖品的门、剩下29门，其中嘉宾第一次选择过的那1扇门中奖的可能性很低，对应着如果从剩下的29扇门当中排除掉曾经选择过的那扇门而在第二次选择时另选1门，这样做相当于“排除掉更多错误选择之后从更小的分母中抽象正确的1个选择项”这种情形的可能性、就比不相当于这种情形的可能性要大得多。

其实就是第二次选择时是否排除掉第一次选择的那1个选项的而缩窄选择范围时，让第二次选择时“对的选项”在“第二次选择时选择范围总体选”当中所占占比变大的可能性更大还是变小的可能性更大，排除掉作为随机正确选项的概率相对更低的“第一次选择的那1个选项”时，是从正确选择概率分数里的分子里减1的这种情形的概率更大、还是正确选项没有被排除地分子不变而选项总体数量这个分母减去1的这种情形的概率更大。

对应到Monty Hall problem这个游戏的具体情境，其实就是游戏嘉宾在做第二次选择时、剩下就2扇门了，其中1扇是自己选择过的，嘉宾自己从3扇门里选择过的那1扇门是正确的概率更高还是错误的概率更高？第二次选择时没有被选择过的那另1扇，它被筛选出来不是随机1/3、不能和嘉宾所选择过的那扇门重合是同一扇，意味着剩下里范围已经缩窄了，而没被嘉宾第一次选择时选过的那2扇门，其中错误的1扇又被主持人拿掉了，那剩下的另1扇正确的概率、就相当于“嘉宾第一次从只有1扇正确的3扇门里抽选1扇门但选错了”的概率，也就是2/3而非“还没经过主持人不随机的排除法的开始时”的1/3了，本来这“2/3”的正确概率、是属于“正确的那1扇门、属于嘉宾第一次选择时没选的那2扇门里的”的情形的，但是经过主持人剧透而减去那2扇门中错误的1扇、留下来的另1扇的正确的概率就等于“正确的那1扇门、属于嘉宾第一次选择时没选的那2扇门里的”的正确概率了。

这个游戏所谓的”直觉与理性的背离”，并非直觉和理性的真正背离，游戏嘉宾未必会真的和围观观众对怎么选择有相同的直觉，真正造成误解的其实不亲身参与游戏的观众的是潜意识里，很容易将游戏主持人“剧透不中奖的两扇门里的哪一扇”也给不经意地前意识（下意识）地混淆成好像是随机的（反正与自身行为无关），然后在概率等于“目标选项数量除以总体选项数量”的思维习惯的强势干扰下，以为剩下的两扇门的对错概率都是像一开始一样都是均等1/3、排除掉一个错的的话就是各自均等1/2那样了。但是正确的直觉、是会似乎看这分布图的分布范围的涨缩那样、“排除掉与已选选项不同的一个错误选项”时，已选选项占据错误的可能性幅度越大、剩下的选项中别的选项里面有正确的可能性幅度就越大”那样的。