三角形内角和等于180度的非传统式证明

 在曲率为零的平面上，不用传统的方法也可以三角形内角和等于180度，画一个外接圆或者外接椭圆就可以了、反正椭圆圆周也是360度，只是坐标半径变长变短而已。想要说明这一点。可以在椭圆外作一个同心外接大圆，大圆的一条半径相当于椭圆的一条长半轴，将这个椭圆和其外接的同心大圆视为以圆心为原点，某极坐标下的两个矢量绕极坐标原点环绕一圈，环绕过程中其中一个矢量大小不变从而形成正圆圆周轨迹，另一个矢量的大小发生规则的变化而形成椭圆圆周轨迹，但两个矢量转动的角度同为360度。

所以，当作出一个圆心或椭圆圆心在三角形内部的三角形外接圆或者外接椭圆之后，就可以在这个圆心（椭圆圆心）处作一个处于三角形内部的小圆，再做出连接三角形各顶点和小圆圆心的连线，这样、就很直观地看到外接圆圆周环绕三角形绕一圈之后在三角形内部封闭出一个360度角，通过三角形各顶点和这个360角的圆心的连线，在一个三角形内可以作出三个三角形，其中其在圆心的三个顶角的和=360度，设三角形内角和=n（度），就有3n=360+n，当且仅当n守恒且n=180时式子成立，得证。这个式子的潜伏风险是设三角形内角和=n、但n不一定是定值，不定值的三个n加起来仍然可以等于540度。不过，在避免证明三角形内角和具体为某一数值的情况下，仍可通过拓扑变换证明三角形内角和不变，从而令上述证明中的“当且仅当n守恒且n=180时式子成立”有效，但由于拓扑变换的证明过程比较长、这里就忽略不赘述了。

当然，还可以这样：将三角形ABC任意一条边上不为顶点的一个点O作为极坐标里的极点，以OC为相当于极轴上的线段的原始矢量，此后矢量大小可以随意变化，当矢量从一个角BCA旋转到另一个角ABC时，就相当于扫过了第三个角BAC的距离，此时过第三个角的顶点A、作与BC平行的平行线，同时过B作与AC平行的平行线，作CA的反向延长线，按同位角相等和内错角相等原理，可知矢量从顶点C到达三角形顶点B之后，继续到达顶点A时所扫过的角度先后等于角BCA和角ABC，即角BCA和角ABC之和，可知只要OC矢量转动过的角度为180度之后，就相当于扫过了三角形的三个内角之和的角距离，这样很直观地原命题得证。

球面曲面相当于让三角形的夹角的两条边向两侧弯曲膨胀，就好像吹气球那样，双曲面则相当于球面往内侧方向弯曲，所以正相反。

其实也可以采取更简单的方法，对任意三角形O都能做一个矩形、以O的其中两个顶点为该矩形的同一侧两个角的顶点、其余一个顶点位于矩形中相对的另一侧的一条线段上，如果三角形O是直角三角形，则O的三个顶点成为矩形的三个顶点，与O组成矩形的另一个三角形O‘与O全等，可证明O的锐角和恒定为90度；

如果的这个三角形O不是直角三角形，以O的其中两个顶点为一个矩形的同一侧两个角的顶点、其余一个顶点位于该矩形中相对的另一侧的一条线段上，则这个其余的顶点不在矩形的顶点而在矩形的一条边当中除两顶点外的位置上，这样就得到三个三角形，其中有两个三角形是直角三角形，通过两个全等的直角三角形组合出一个矩形可证直角三角形的锐角和=90度，这样就可以得出这三个三角形的内角和永远等于540度，同时也可以证明原来的那个三角形的内角和始终等于180度。

这个方法比作圆的方法更严谨更简便。