关于小圆绕着大圆滚的那个问题

过去有1道美国高考题，说是2个硬币相邻，大硬币直径是小硬币的3倍，大的不动小的绕着接触点滚动，滚回到原来开始滚的起点的时候转了多少圈、出题人自己都以为是3圈，结果是4圈。

嘿嘿很多教科书会先说直觉有问题然后用作多边形逼近圆的方法来解释为什么，其实这道题的问题不是直觉有问题，而是受过教育的人的直觉被教育带偏了的问题。没受过教育的人不知道公式所以不会第一时间套公式、对公式进行“直觉”，而是对实际现象进行想象然后根据实际现象去直觉。其实呢，按照公式进行直觉的话需要补充注意到一点，就是因为不是潮汐锁定，所以要先把大圆的周长拉直，然后看一看小圆滚到一半的时候刚开始滚的接触点是仍然接触着那条直线、还是滚到对面180度位置了，如果滚到对面180度位置了，那就等于滚完这条直线（接触点又接触上大圆了）的时候多滚出了一圈。

因为不是“潮汐锁定”，圆和圆的接触点一点在变，小圆滚完大圆的周长之后虽然原始的接触点和原始的接触位置重合，但是在滚动的过程中滚到一半时小圆的接触点未必继续与大圆接触，需要像潮汐锁定那样、小圆滚过的长度才能是大圆的周长。r半径的圆滚过3r的直线的时候多滚了半个圆，接触点滚到了180度对侧点位置，滚完6πr的时候回到原本接触点的重合位置，多滚出1圈。哈哈哈哈我这个证明和观察的方法、是不是比“作多边形无穷逼近圆，观察和证明小圆滚过一个多边形要多经过多边形的边数对应的圆弧数从而多滚1个圆”的这种方法要简便很多呢！先观察滚过大圆的一半周长是原始的接触点是继续接触大圆还是滚到对侧点去了，这就一目了然了、不需要那么复杂推理，非常直观又合理。

当然作多边形逼近圆，证明小圆滚过多边形的时候在多边形的角上滚动过一段弧度，这是原理机制上最根本决定了为什么小圆会多滚动一个圆的根本机制的揭示、在理论深究上是必须的；不过考虑到小圆滚动过程中小圆与大圆、多边形之间的小圆上的接触点一直在脱离大圆，比起潮汐锁定那样的滚动是不是多滚出多少长度来，可以直接把大圆、多边形伸展成直线，如果小圆滚动经过的长度等于大圆的周长、那么就是潮汐锁定那样、小圆和大圆的接触点一直作为两个圆之间的接触点，小圆沿着这个接触点绕了大圆一圈，但如果不是潮汐锁定那样、这就计算半个大圆周长、也就是小圆滚到初始接触位置的对面时、原本的接触点是不是滚动到两个圆之间的接触点的180度对侧了，就可以看作这是潮汐锁定那样地小圆围绕大圆转动了半圈+多滚动了自己半个小圆的长度，绕大圆一圈、就多滚动出小圆自己一圈的长度。